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イプシロンデルタ論法【例題1】定数関数の連続性

こちらのページでは定数関数の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

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定数関数の連続性

例題1

例題1:$f(x)=1$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1$$ を証明せよ.

証明:$\varepsilon >0$ とする. するとすべての $x\in\mathbb{R}$ で

$$|f(x)-f(1)|=|1-1|=0<\varepsilon$$

が成り立つ.

よって題意は示された.

 

例題の一般化

例題の一般化: $f(x)=c\in\mathbb{R}$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=c$$ を証明せよ. ただし $x_0\in\mathbb{R}$ とする.

証明: $\varepsilon >0$ とする. するとすべての $x\in\mathbb{R}$ で

$$|f(x)-f(x_0)|=|c-c|=0<\varepsilon$$

が成り立つ.

よって題意は示された.