Nick'97

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イプシロンデルタ論法【例題2】一次関数の連続性

こちらのページでは一次関数の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

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一次関数の連続性

例題2

例題2:$f(x)=4x-1$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=7$$ を証明せよ.

証明:$\varepsilon >0$ とする. $\delta=\frac{\varepsilon}{4}>0$ とおくと, $|x-2|<\delta$ のとき,

$$|f(x)-7|=|4x-1-7|=|4x-8|=4|x-2|<4\delta=4\frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon$$

が成り立つ. つまり,

$$|x-2|<\delta\Rightarrow|f(x)-7|<\varepsilon$$

が示された. よって題意は示された.

 

例題の一般化

例題の一般化: $f(x)=ax+b\in\mathbb{R}$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=ax_0+b$$ を証明せよ. ただし $a\neq 0, x_0\in\mathbb{R}$ とする.

証明: $\varepsilon >0$ とする. すると $\delta=\frac{\varepsilon}{|a|}>0$ とすれば, $|x-x_0|<\delta$ のとき,

$$|f(x)-(ax_0+b)|=|(ax+b)-(ax_0+b)|=|a|\cdot|x-x_0|<|a|\delta=|a|\frac{\varepsilon}{|a|}=\varepsilon$$

が成り立つ. よって題意は示された.