イプシロンデルタ論法【例題４】一次分数関数(1/xなど)の連続性

こちらのページでは一次分数関数（分母が一次式の分数関数）の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

例題４−１：$f(x)=\frac{1}{x}$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1$$ を証明せよ.

証明：$\varepsilon >0$ とする. $0<\delta\leq\frac{1}{2}$ とおくと, $|x-1|<\delta$ のとき, 三角不等式より $|x|> 1-\delta\geq \frac{1}{2}$. よって,

$$|f(x)-1|=|\frac{1}{x}-1|=\frac{|x-1|}{|x|}<2|x-1|<2\delta$$

が成り立つ. ここで, $\delta\leq \frac{\varepsilon}{2}$ とすると,

$$|f(x)-1|<2\delta\leq 2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$

である. すなわち, $\delta=\min(\frac{1}{2},\frac{\varepsilon}{2})$ のとき,

$$|x-1|<\delta\Rightarrow|f(x)-1|<\varepsilon$$

が示された. よって題意は示された.

例題４−２： $f(x)=\frac{1}{x+1}$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=\frac{1}{2}$$ を証明せよ.

証明：$\varepsilon >0$ とする. $0<\delta\leq\frac{1}{2}$ とおくと, $|x-1|<\delta$ のとき, 三角不等式より $|x+1|> 2-\delta\geq \frac{3}{2}$. よって,

$$|f(x)-\frac{1}{2}|=|\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}|=\frac{|x-1|}{2|x+1|}<\frac{\delta}{2\cdot\frac{3}{2}}=\frac{\delta}{3}$$

が成り立つ. ここで, $\delta\leq 3\varepsilon$ とすると,

$$|f(x)-\frac{1}{2}|<\frac{\delta}{3}\leq \frac{3\varepsilon}{3}=\varepsilon$$

である. すなわち, $\delta=\min(\frac{1}{2},3\varepsilon)$ のとき,

$$|x-1|<\delta\Rightarrow|f(x)-\frac{1}{2}|<\varepsilon$$

が示された. よって題意は示された.

イプシロン・デルタ論法を使いこなすための例題がたくさん載っています。今回をきっかけに苦手をなくしておきましょう。

作者:原惟行,松永秀章　共立出版　2011/12/22

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