Nick'97

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イプシロンデルタ論法【例題4】一次分数関数(1/xなど)の連続性

こちらのページでは一次分数関数(分母が一次式の分数関数)の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

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一次分数関数の連続性

例題4−1

例題4−1:$f(x)=\frac{1}{x}$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1$$ を証明せよ.

証明:$\varepsilon >0$ とする. $0<\delta\leq\frac{1}{2}$ とおくと, $|x-1|<\delta$ のとき, 三角不等式より $|x|> 1-\delta\geq \frac{1}{2}$. よって,

$$|f(x)-1|=|\frac{1}{x}-1|=\frac{|x-1|}{|x|}<2|x-1|<2\delta$$

が成り立つ. ここで, $\delta\leq \frac{\varepsilon}{2}$ とすると,

$$|f(x)-1|<2\delta\leq 2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$
である. すなわち, $\delta=\min(\frac{1}{2},\frac{\varepsilon}{2})$ のとき,

$$|x-1|<\delta\Rightarrow|f(x)-1|<\varepsilon$$

が示された. よって題意は示された.

 

例題4−2

例題4−2: $f(x)=\frac{1}{x+1}$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=\frac{1}{2}$$ を証明せよ.

証明:$\varepsilon >0$ とする. $0<\delta\leq\frac{1}{2}$ とおくと, $|x-1|<\delta$ のとき, 三角不等式より $|x+1|> 2-\delta\geq \frac{3}{2}$. よって,

$$|f(x)-\frac{1}{2}|=|\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}|=\frac{|x-1|}{2|x+1|}<\frac{\delta}{2\cdot\frac{3}{2}}=\frac{\delta}{3}$$

が成り立つ. ここで, $\delta\leq 3\varepsilon$ とすると,

$$|f(x)-\frac{1}{2}|<\frac{\delta}{3}\leq \frac{3\varepsilon}{3}=\varepsilon$$
である. すなわち, $\delta=\min(\frac{1}{2},3\varepsilon)$ のとき,

$$|x-1|<\delta\Rightarrow|f(x)-\frac{1}{2}|<\varepsilon$$

が示された. よって題意は示された.