イプシロンデルタ論法【例題５】二次分数関数(1/x^2など)の連続性

こちらのページでは二次分数関数（$\frac{1}{x^2}$ など）の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

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二次分数関数の連続性

例題５−１

例題５−１：$f(x)=\frac{1}{x^2}$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1$$ を証明せよ.

証明：$\varepsilon >0$ とする. $0<\delta=\leq \frac{1}{2}$ とおくと, $|x-1|<\delta$ のとき, 三角不等式より $|x|> \frac{1}{2}$. また, $|x+1|<\delta+2\leq \frac{5}{2}$. よって

$$|f(x)-1|=|\frac{1}{x^2}-1|=|\frac{1-x^2}{x^2}|=\frac{|x-1||x+1|}{|x|^2}<10|x-1|<10\delta$$

が成り立つ. また, $0<\delta\leq \frac{\varepsilon}{10}$ とすると,

$$|f(x)-1|<10\delta\leq 10\frac{\varepsilon}{10}=\varepsilon$$

となる. つまり, $\delta=\min(\frac{1}{2},\frac{\varepsilon}{10})$ とおけば,

$$|x-1|<\delta\Rightarrow|f(x)-1|<\varepsilon$$

が示される. よって題意は示された.

例題５−２

例題５−２：$f(x)=\frac{1}{x^2-x+1}$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1$$ を証明せよ.

証明：$\varepsilon >0$ とする. $0<\delta=\leq \frac{1}{2}$ とおくと, $|x-1|<\delta$ のとき, $|x|<\delta+1\leq \frac{3}{2}$.また, 分母の二次関数の最小値より $x^2-x+1\geq \frac{3}{4}$. よって

$$|f(x)-1|=|\frac{1}{x^2-x+1}-1|=|\frac{x^2-x}{x^2-x+1}|=\frac{|x-1||x|}{|x^2-x+1|}<\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}|x-1|<2\delta$$

が成り立つ. また, $0<\delta\leq \frac{\varepsilon}{2}$ とすると,

$$|f(x)-1|<2\delta\leq 2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$

となる. つまり, $\delta=\min(\frac{1}{2},\frac{\varepsilon}{2})$ とおけば,

$$|x-1|<\delta\Rightarrow|f(x)-1|<\varepsilon$$

が示される. よって題意は示された.

例題５−３

例題５−３：$f(x)=\frac{x}{x^2-x+1}$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1$$ を証明せよ.

証明：$\varepsilon >0$ とする. 例題５−２と同様に, 分母の二次関数の最小値より $x^2-x+1\geq \frac{3}{4}$. よって, $|x-1|<\delta$ のとき,

$$|f(x)-1|=|\frac{1}{x^2-x+1}-1|=|\frac{x^2-2x+1}{x^2-x+1}|=\frac{|x-1|^2}{|x^2-x+1|}<\frac{4}{3}\delta^2$$

が成り立つ. また, $0<\delta\leq \frac{\sqrt{3\varepsilon}}{2}$ とすると,

$$|f(x)-1|<\frac{4}{3}\delta^2\leq \frac{4}{3}(\frac{\sqrt{3\varepsilon}}{2})^2=\varepsilon$$

となる. つまり,$\delta=\min(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3\varepsilon}}{2})$ とおけば,

$$|x-1|<\delta\Rightarrow|f(x)-1|<\varepsilon$$

が示される. よって題意は示された.

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