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イプシロンデルタ論法【例題7】三角関数(tan)の連続性

こちらのページでは三角関数($\tan$)の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

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三角関数(タンジェント)の連続性

例題7

例題7:$f(x)=\tan x$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\tan c$$ を証明せよ. ただし, $-\frac{\pi}{2}<c<\frac{\pi}{2}$ とする.

証明:$\varepsilon >0$ とする. $0<\delta\leq \min(|\frac{\pi/2-c}{2}|,|\frac{-\pi/2-c}{2}|)$ とおくと, $|x-c|<\delta$ のとき, $|\cos x|\geq \min\{\cos(\frac{\pi/2+c}{2}),\cos(\frac{-\pi/2+c}{2})\}>0$ が成り立つ. ここで, $d=\min\{\cos(\frac{\pi/2+c}{2}),\cos(\frac{-\pi/2+c}{2})\}$ とする. すると, $|x-c|<\delta$ のとき,

$$|\tan x-\tan c|=\frac{|\sin(x-c)|}{|\cos c\cos x|}\leq \frac{|x-c|}{d\cdot \cos c}<\frac{\delta}{d\cdot \cos c}$$

が成り立つ. ここで, $0<\delta\leq d\cdot \cos c\cdot\varepsilon$ とすれば,

$$|\tan x-\tan c|<\frac{\delta}{d\cdot \cos c}\leq \varepsilon$$

が成り立つ. よって $\delta=\min(|\frac{\pi/2-c}{2}|,|\frac{-\pi/2-c}{2}|,d\cdot \cos c\cdot\varepsilon)$ とすると

$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\varepsilon$$

が示される. よって題意は示された.

 

ポイント

タンジェントの定義域にうまく収まるよう、デルタの上限を設定しました。

そして $\cos x$ の取りうる範囲は設定したデルタの中で導いています。

また、加法定理を利用しています。