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4^x+6^x=9^x を解く(指数)

$4^x+6^x=9^x$ を解くという問題です。

大学入試でよく見る典型的な指数の問題ですが、頭がやわらかくない人は解法を知らないと解けないかもしれません。

ポイントは、$4$, $6$, $9$ の素因数に着目してみることです。

 

問題

$4^x+6^x=9^x$ を $x$ が実数の範囲で解け.

 

解答

$4$, $6$, $9$ を素因数分解して等式を書き直してみると、

$$2^{2x}+2^x\cdot 3^x=3^{2x}$$

という形になります。

ここで両辺を $2^{2x}$ で割ります。すると、

$$1+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{x}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}$$

となります。ここで $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^{x}>0$ (*)とおくと、

$$1+y=y^2$$

$$y^2-y-1=0$$

となり、これを解の公式を用いて解くと、

$$y=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$

となります。$y>0$ より、これを満たす $y$ は、

$$y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

であることがわかります。よって(*)より、

$$x=\log_{\frac{3}{2}}\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

となります。

 

ワンポイント

この問題が解けなくなってしまったときは、とにかく数字部分の素因数に着目してみてください。

3つの数字の間に何か関係がありそうだったら、どれかで割ってみるのが一番の近道です。