2013年の旭川医科大学の整数問題です。
最初の一歩を考え出せれば、あとは単純計算の問題です。
問題
$x,y,z,p$ は自然数で
$$xy+yz+zx=pxyz,\qquad x\leq y\leq z$$
を満たしている. 次の問いに答えよ.
(1) $p\leq 3$ を示せ.
(2) 上式を満たす自然数の組 $(p,x,y,z)$ をすべて求めよ.
2013年旭川医科大学より
解答
(1)
両辺を $xyz$ で割ると、
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=p$$
となる。
また、$x,y,z$ は自然数なので、その逆数は $1$ 以下であることから、
$$p=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 3$$
である。
よって、$p\leq 3$ が示された。
(2)
$x\leq y\leq z$ であるから、
$$p=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{3}{x}$$
である。
(i) $p=1$ のとき
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$
$$x\leq 3$$
である。
・$x=1$ のとき
$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ となるが、これを満たす自然数の組は存在しない。
・$x=2$ のとき
$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ となる。
$$\frac{1}{2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{2}{y}$$
より、$y\leq 4$
$y=2$ のとき、$\frac{1}{z}=0$ となり不適。
$y=3$ のとき、$\frac{1}{z}=\frac{1}{6}$ より $z=6$。
$y=4$ のとき、$\frac{1}{z}=\frac{1}{4}$ より $z=4$。
・$x=3$ のとき
$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}$ である。
また、$\frac{1}{y},\frac{1}{z}\leq \frac{1}{3}$ であるから、
$$\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$$
である。よって、$y=z=3$。
(ii) $p=2$ のとき
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$$
$$x\leq \frac{3}{2}$$
である。
よって、$x=1$。
このとき、
$$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$
である。ここから、
$$1=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{2}{y}$$
となるから、$y=1,2$。
$y=1$ のとき、$\frac{1}{z}=0$ となり不適。
$y=2$ のとき、$\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ より $z=2$。
(iii) $p=3$ のとき
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$$
$$x\leq 1$$
である。よって $x=1$。
このとき、$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ である。
また、$\frac{1}{y},\frac{1}{z}\leq 1$ であるから、
$$\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=1$$
である。よって、$y=z=1$。
よって、求める解は、$(p,x,y,z)=(1,2,3,6)$,$(1,2,4,4)$,$(1,3,3,3)$,$(2,1,2,2)$,$(3,1,1,1)$ である。
ワンポイント
(1)の不等式を導くとき、$xyz$ で割ることさえわかってしまえば、あとはミスに気をつけて解くだけです。