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xy+yz+zx=pxyzを満たす自然数(旭川医科大)

2013年の旭川医科大学の整数問題です。

最初の一歩を考え出せれば、あとは単純計算の問題です。

 

問題

$x,y,z,p$ は自然数で

$$xy+yz+zx=pxyz,\qquad x\leq y\leq z$$

を満たしている. 次の問いに答えよ.

(1) $p\leq 3$ を示せ.

(2) 上式を満たす自然数の組 $(p,x,y,z)$ をすべて求めよ.

2013年旭川医科大学より

 

解答

(1)

両辺を $xyz$ で割ると、

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=p$$

となる。

また、$x,y,z$ は自然数なので、その逆数は $1$ 以下であることから、

$$p=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 3$$

である。

よって、$p\leq 3$ が示された。

 

(2)

$x\leq y\leq z$ であるから、

$$p=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{3}{x}$$

である。

 

(i) $p=1$ のとき

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$

$$x\leq 3$$

である。

・$x=1$ のとき

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ となるが、これを満たす自然数の組は存在しない。

・$x=2$ のとき

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ となる。

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{2}{y}$$

より、$y\leq 4$

$y=2$ のとき、$\frac{1}{z}=0$ となり不適。

$y=3$ のとき、$\frac{1}{z}=\frac{1}{6}$ より $z=6$。

$y=4$ のとき、$\frac{1}{z}=\frac{1}{4}$ より $z=4$。

・$x=3$ のとき

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}$ である。

また、$\frac{1}{y},\frac{1}{z}\leq \frac{1}{3}$ であるから、

$$\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$$

である。よって、$y=z=3$。

 

(ii) $p=2$ のとき

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$$

$$x\leq \frac{3}{2}$$

である。

よって、$x=1$。

このとき、

$$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$

である。ここから、

$$1=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{2}{y}$$

となるから、$y=1,2$。

$y=1$ のとき、$\frac{1}{z}=0$ となり不適。

$y=2$ のとき、$\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ より $z=2$。

 

(iii) $p=3$ のとき

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$$

$$x\leq 1$$

である。よって $x=1$。

このとき、$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ である。

また、$\frac{1}{y},\frac{1}{z}\leq 1$ であるから、

$$\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=1$$

である。よって、$y=z=1$。

 

よって、求める解は、$(p,x,y,z)=(1,2,3,6)$,$(1,2,4,4)$,$(1,3,3,3)$,$(2,1,2,2)$,$(3,1,1,1)$ である。

 

ワンポイント

(1)の不等式を導くとき、$xyz$ で割ることさえわかってしまえば、あとはミスに気をつけて解くだけです。