2010年の千葉大学の整数問題です。
すぐに解法を思いつかなければ、小さい数の剰余類を考えてみてください。
問題
$3^n=k^2-40$ をみたす正の整数の組 $(k,n)$ をすべて求めよ.
2010年千葉大学教育学部（算数・技術）より
解答
左辺が奇数であることから、$k$ も奇数であることがわかる。
よって、
$$k\equiv 1,3 \mod 4$$
であることがわかる。このとき、
$$k^2-40\equiv 1\mod 4$$
である。また、
$$3^n\equiv (-1)^n\mod 4$$
であるから、両辺の $4$ を法とする剰余類が等しくなるのは、$n$ が偶数のときである。
ここで、自然数 $m$ を用いて、$n=2m$ とおく。
すると、与えられた等式は、
$$40=(k-3^m)(k+3^m)$$
と表せる。
ここで、$k+3^m>0$、$k-3^m<k+3^m$ から、この条件を満たす正の整数の組は、
$$(k-3^m,k+3^m)=(1,40),(2,20),(4,10),(5,8)$$
である。
また、$k-3^m,k+3^m$ は偶数であるため、
$$(k-3^m,k+3^m)=(2,20),(4,10) $$
となる。
よって、
$$(k,m)=(11,2),(7,1)$$
が成り立つ。
したがって、求める解は、$(k,n)=(11,4),(7,2)$ である。
検算
$$3^4=81=11^2-40$$
$$3^2=9=7^2-40$$
ワンポイント
二乗の形が出たら $\mod 3,\mod 4$ に場合分けをする、というのは頻出の考え方です。
同じ大問内にもう一つ問題がありますので、そちらもご覧ください。
