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3^n=k^2-40を満たす正の整数の組(千葉大・教育学部)

2010年の千葉大学の整数問題です。

すぐに解法を思いつかなければ、小さい数の剰余類を考えてみてください。

 

問題

$3^n=k^2-40$ をみたす正の整数の組 $(k,n)$ をすべて求めよ.

2010年千葉大学教育学部(算数・技術)より

 

解答

左辺が奇数であることから、$k$ も奇数であることがわかる。

よって、

$$k\equiv 1,3 \mod 4$$

であることがわかる。このとき、

$$k^2-40\equiv 1\mod 4$$

である。また、

$$3^n\equiv (-1)^n\mod 4$$

であるから、両辺の $4$ を法とする剰余類が等しくなるのは、$n$ が偶数のときである。

 

ここで、自然数 $m$ を用いて、$n=2m$ とおく。

すると、与えられた等式は、

$$40=(k-3^m)(k+3^m)$$

と表せる。

ここで、$k+3^m>0$、$k-3^m<k+3^m$ から、この条件を満たす正の整数の組は、

$$(k-3^m,k+3^m)=(1,40),(2,20),(4,10),(5,8)$$

である。

また、$k-3^m,k+3^m$ は偶数であるため、

$$(k-3^m,k+3^m)=(2,20),(4,10) $$

となる。

 

よって、

$$(k,m)=(11,2),(7,1)$$

が成り立つ。

したがって、求める解は、$(k,n)=(11,4),(7,2)$ である。

 

検算

$$3^4=81=11^2-40$$

$$3^2=9=7^2-40$$

 

ワンポイント

二乗の形が出たら $\mod 3,\mod 4$ に場合分けをする、というのは頻出の考え方です。

同じ大問内にもう一つ問題がありますので、そちらもご覧ください。

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