ニックのブログ

数学と医学部受験とオーストラリア留学とインフルエンサーのブログ

3^n=k^3+1を満たす正の整数の組(千葉大・教育学部)

2010年の千葉大学の整数問題です。

右辺の変形が解答へのヒントです。

 

問題

$3^n=k^3+1$ をみたす正の整数の組 $(k,n)$ をすべて求めよ.

2010年千葉大学教育学部(算数・技術)より

 

解答

$$k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$$

と因数分解できる。

ここで、左辺が $3$ の倍数で、$k+1>1$ であるから、$k+1$ は $3$ の倍数でなくてはならない。

すると、自然数 $l$ を用いて、$k=3l-1$ とおける。

このとき、

$$k^2-k+1=3(3l^2-3l+1)$$

となる。これが $3$ の累乗数とならなければならない。

$$3l^2-3l+1\equiv 1\mod 3$$

なので、$3l^2-3l+1$ が $3$ の累乗数となるのは $3l^2-3l+1=1$ のときのみである。

このとき、$l$ は正の整数なので、$l=1$ となる。

よって、$k=2$ となる。

このとき、

$$k^3+1=9=3^2$$

より、求める解は $(2,2)$ である。

 

ワンポイント

$k^3+1$ を因数分解することができれば、あとはミスをしないようにするだけです。

同じ大問内にもう一つの問題があるので、以下の記事もご覧ください。

3^n=k^2-40を満たす正の整数の組(千葉大・教育学部) - ニックのブログ