2010年の千葉大学の整数問題です。
右辺の変形が解答へのヒントです。
問題
$3^n=k^3+1$ をみたす正の整数の組 $(k,n)$ をすべて求めよ.
2010年千葉大学教育学部（算数・技術）より
解答
$$k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$$
と因数分解できる。
ここで、左辺が $3$ の倍数で、$k+1>1$ であるから、$k+1$ は $3$ の倍数でなくてはならない。
すると、自然数 $l$ を用いて、$k=3l-1$ とおける。
このとき、
$$k^2-k+1=3(3l^2-3l+1)$$
となる。これが $3$ の累乗数とならなければならない。
$$3l^2-3l+1\equiv 1\mod 3$$
なので、$3l^2-3l+1$ が $3$ の累乗数となるのは $3l^2-3l+1=1$ のときのみである。
このとき、$l$ は正の整数なので、$l=1$ となる。
よって、$k=2$ となる。
このとき、
$$k^3+1=9=3^2$$
より、求める解は $(2,2)$ である。
ワンポイント
$k^3+1$ を因数分解することができれば、あとはミスをしないようにするだけです。
同じ大問内にもう一つの問題があるので、以下の記事もご覧ください。
