2013年の千葉大学の整数問題です。
一工夫あれば、複雑な場合分けなどは必要なくなります。
問題
$m^4+14m^2$ が $2m+1$ の整数倍となるような整数 $m$ をすべて求めよ.
2013年千葉大学教育学部（算数・技術）より
解答
$2m+1$ は奇数であるから、$m^4+14m^2$ が $2m+1$ の整数倍となることは、$16(m^4+14m^2)$ が $2m+1$ の整数倍となることと同値である。
ここで、
$$16(m^4+14m^2)=(2m)^4+56(2m)^2$$
と変形できる。
$$2m\equiv -1\mod (2m+1)$$
であることから、
$$(2m)^4+56(2m)^2\equiv 57\mod (2m+1)$$
である。
よって、求める $m$ は、
$$57\equiv 0\mod (2m+1)$$
となることと同値であるので、
$$2m+1=\pm 1,\pm 3,\pm 19,\pm 57$$
である。よって、求める整数 $m$ は、
$$m=-29,-10,-2,-1,0,1,9,28$$
である。
ワンポイント
$16$ をいきなり掛けるというのは想像しづらいかもしれません。
これは、$m^4+14m^2$ の$m^4$ の係数が $1$ であるのに対して、割る数の $m$ の係数が $2$ であることに着目しています。
