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m^4+14m^2が2m+1の整数倍となるような整数m(千葉大・教育学部)

2013年の千葉大学の整数問題です。

一工夫あれば、複雑な場合分けなどは必要なくなります。

 

問題

$m^4+14m^2$ が $2m+1$ の整数倍となるような整数 $m$ をすべて求めよ.

2013年千葉大学教育学部(算数・技術)より

 

解答

$2m+1$ は奇数であるから、$m^4+14m^2$ が $2m+1$ の整数倍となることは、$16(m^4+14m^2)$ が $2m+1$ の整数倍となることと同値である。

ここで、

$$16(m^4+14m^2)=(2m)^4+56(2m)^2$$

と変形できる。

$$2m\equiv -1\mod (2m+1)$$

であることから、

$$(2m)^4+56(2m)^2\equiv 57\mod (2m+1)$$

である。

よって、求める $m$ は、

$$57\equiv 0\mod (2m+1)$$

となることと同値であるので、

$$2m+1=\pm 1,\pm 3,\pm 19,\pm 57$$

である。よって、求める整数 $m$ は、

$$m=-29,-10,-2,-1,0,1,9,28$$

である。

 

ワンポイント

$16$ をいきなり掛けるというのは想像しづらいかもしれません。

これは、$m^4+14m^2$ の$m^4$ の係数が $1$ であるのに対して、割る数の $m$ の係数が $2$ であることに着目しています。