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pが奇素数のとき(p+1)(p+3)(p+5)は48の倍数(千葉大)

2014年の千葉大学の素数が絡んだ整数問題です。

整数問題の中でもシンプルなものですが、ある知識を利用しないと難しいです。

 

問題

$p$ は奇数である素数とし, $N=(p+1)(p+3)(p+5)$ とおく. $N$ は $48$ の倍数であることを示せ.

2014年千葉大学より

 

解答

$N(p)=(p+1)(p+3)(p+5)$ とおく。

$p=3$ のとき、$N(3)=196=48\times 4$ より、$N$ は $48$ の倍数である。

$p$ を $3$ でない奇素数とするとき、自然数 $k$ を用いて $p=6k\pm 1$ と表せる。

ここで、

$$N(6k+1)=(6k+2)(6k+4)(6k+6)$$

である。さらに因数分解をすると、

$$N(6k+1)=24(3k+1)(3k+2)(k+1)$$

となる。

連続する2つの整数の一方は偶数であることから、自然数 $l$ を用いて、

$$(3k+1)(3k+2)=2l$$

と表せる。よって、

$$N(6k+1)=48l(k+1)$$

となり、これは $48$ の倍数である。

同様に、

$$N(6k-1)=24k(3k+1)(3k+2)=48kl$$

と表せるので、この場合も $N$ は $48$ の倍数である。

よって、題意は示された。

 

ワンポイント

$2$ でも $3$ でもない素数 $p$ は、$p\equiv \pm 1\mod 6$ のいずれかを満たすということがポイントでした。

これは、必要な知識ではありませんが、$2$ でも $3$ でもない奇数であることを考えれば、簡単に導き出せます。