2011年の群馬大学(文系)の整数問題です。
絞り込みや場合分けといった、整数問題の基本的な解き方で解くことができます。
問題
$2$ 以上の整数 $x,y,z$ の組で $xyz=1365,3x\leq 2y\leq z$ を満たすものをすべて求めよ.
2011年群馬大学(文系)より
解答
$1365=3\times 5\times 7\times 13$ である。
$x$ が合成数だとすると、$x\geq 15,y\leq 13$ より、$3x\leq 2y$ を満たさない。
$y$ が合成数だとすると、$y\geq 15,z\leq 13$ より、$2y\leq z$ を満たさない。
よって、$x,y$ は素数、$z$ は合成数であることがわかる。
(i) $x=3$ のとき
$(y,z)=(5,7\times 13),(7,5\times 13),(13,5\times 7)$ の可能性が考えられるが、いずれも $2y\leq z$ を満たす。
(ii) $x=5,7$ のとき
$3x\leq 2y $ を満たす $y$ は、$y=13$ このとき、$z\geq 15$ より、$2y\leq z$ を満たさない。
(iii) $x=13$ のとき
$3x\leq 2y $ を満たす $y$ は存在しない。
よって、求める解は $(x,y,z)=(3,5,91),(3,7,65),(3,13,35)$ である。
ワンポイント
素因数分解を使ったわかりやすい問題です。
解答を簡潔にするために、絞り込みをすることから始めたところがポイントです。