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xyz=1365,3x≦2y≦zを満たす2以上の整数の組(群馬大)

2011年の群馬大学(文系)の整数問題です。

絞り込みや場合分けといった、整数問題の基本的な解き方で解くことができます。

 

問題

$2$ 以上の整数 $x,y,z$ の組で $xyz=1365,3x\leq 2y\leq z$ を満たすものをすべて求めよ.

2011年群馬大学(文系)より

 

解答

$1365=3\times 5\times 7\times 13$ である。

$x$ が合成数だとすると、$x\geq 15,y\leq 13$ より、$3x\leq 2y$ を満たさない。

$y$ が合成数だとすると、$y\geq 15,z\leq 13$ より、$2y\leq z$ を満たさない。

よって、$x,y$ は素数、$z$ は合成数であることがわかる。

 

(i) $x=3$ のとき

$(y,z)=(5,7\times 13),(7,5\times 13),(13,5\times 7)$ の可能性が考えられるが、いずれも $2y\leq z$ を満たす。

(ii) $x=5,7$ のとき

$3x\leq 2y $ を満たす $y$ は、$y=13$ このとき、$z\geq 15$ より、$2y\leq z$ を満たさない。

(iii) $x=13$ のとき

$3x\leq 2y $ を満たす $y$ は存在しない。

 

よって、求める解は $(x,y,z)=(3,5,91),(3,7,65),(3,13,35)$ である。

 

ワンポイント

素因数分解を使ったわかりやすい問題です。

解答を簡潔にするために、絞り込みをすることから始めたところがポイントです。