2010年の弘前大学理系の整数問題です。
合同式を利用した、基礎的な内容の問題となっています。
問題
すべての正の整数 $n$ に対して, $3^{3n-2}+5^{3n-1}$ が $7$ の倍数であることを証明せよ.
2010年弘前大学理系より
解答
$3n-1=3(n-1)+1$ であるから、
$$3^{3n-1}=27^{n-1}\times 3\equiv 3\cdot(-1)^{n-1}$$
である。同様にして、
$$5^{3n-2}=125^{n-1}\times 25\equiv 4\cdot(-1)^{n-1}$$
である。
よって、
$$\begin{align} 3^{3n-2}+5^{3n-1}&\equiv 3\cdot(-1)^{n-1}+4\cdot(-1)^{n-1}\\&\equiv 7\cdot(-1)^{n-1}\\&\equiv 0 \mod 7\end{align}$$
であるから、題意は示された。
ワンポイント
このように、指数が一次の文字式のとき、その係数を先に累乗することによって解が得られる場合があります。
基本中の基本ですので、このような問題に出会ったら試してみてください。
