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5^(2n-1)+7^(2n-1)+23^(2n-1) が35で割り切れることの証明(弘前大・理系)

2013年の弘前大学理系の整数問題です。

ある一つのことに気づくことができれば、とても簡単に解くことができます。

 

問題

$5^{2n-1}+7^{2n-1}+(23)^{2n-1}$ がすべての正の整数 $n$ について $35$ で割り切れることを証明せよ.

2013年弘前大学理系より

 

解答

一般に $a,b$ が整数、$n$ が自然数のとき、二項定理より $(a+b)^n$ の $a^n$ と$b^n$ の項以外は、$ab$ を因数にもつ。

よって、

$$5^{2n-1}+7^{2n-1}\equiv (5+7)^{2n-1}=12^{2n-1}\mod 35$$

となる。

また、$2n-1$ が奇数、$23\equiv -12\mod 35$ であることから、

$$23^{2n-1}\equiv (-12)^{2n-1}=-12^{2n-1}\mod 35$$

となる。

よって、

$$5^{2n-1}+7^{2n-1}+(23)^{2n-1}\equiv 12^{2n-1}-12^{2n-1}=0\mod 35$$

となり、題意が示された。

 

ワンポイント

二項展開を利用するということがポイントでした。

合同式を使うのと使わないのとでは、書かなければいけない文章量に大きな違いが出る問題です。学校で学習していなくても、積極的に覚えていきましょう。