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3p^3-p^2*q-pq^2+3q^3=2013を満たす正の整数(一橋大)

2013年の一橋大学(文系)の整数問題です。

整式の変形や場合分けがスムーズにできれば、簡単な問題です。

 

問題

$3p^3-p^2 q-pq^2+3q^3=2013$ を満たす正の整数 $p,q$ の組をすべて求めよ.

2013年一橋大学より

 

解答

左辺を因数分解、右辺を素因数分解することにより、

$$(p+q)(3p^2-4pq+3q^2)=3\times 11\times 61$$

が得られる。

また、

$$3p^2-4pq+3q^2=p^2+q^2+2(p-q)^2\geq p+q$$

が得られる。

よって、$p+q=3,11,33$。

 

(i) $p+q=3$ のとき

$$3p^2-4pq+3q^2=11\times 61$$

が成り立つ。また、$1\leq p,q\leq 2$ であるから、

$pq\equiv 2\mod 3$ である。

このとき、

$$3p^2-4pq+3q^2\equiv 1\mod 3$$

となるが、$11\times 61\equiv 2\mod 3$

より、不適。

 

(ii) $p+q=11$ のとき

$$3p^2-4pq+3q^2=3\times 61$$

が成り立つ。また、

$$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=121-2pq$$

より、

$$3p^2-4pq+3q^2=363-10pq=3\times 61$$

$$pq=18$$

このような $p,q$ は、$(p,q)=(2,9),(9,2)$ である。

 

(iii) $p+q=33$ のとき

$$3p^2-4pq+3q^2= 61$$

が成り立つ。また、

$$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=1089-2pq$$

より、

$$3p^2-4pq+3q^2=3267-10pq=61$$

$$10pq=3206$$

となるが、$pq$ は整数なので、この等式は成り立たない。

 

よって、求める組は、$(p,q)=(2,9),(9,2)$ である。

 

ワンポイント

オーソドックスな整数問題ですが、因数分解をしたあと、範囲を絞り込むことが重要です。