2013年の一橋大学（文系）の整数問題です。
整式の変形や場合分けがスムーズにできれば、簡単な問題です。
問題
$3p^3-p^2 q-pq^2+3q^3=2013$ を満たす正の整数 $p,q$ の組をすべて求めよ.
2013年一橋大学より
解答
左辺を因数分解、右辺を素因数分解することにより、
$$(p+q)(3p^2-4pq+3q^2)=3\times 11\times 61$$
が得られる。
また、
$$3p^2-4pq+3q^2=p^2+q^2+2(p-q)^2\geq p+q$$
が得られる。
よって、$p+q=3,11,33$。
(i) $p+q=3$ のとき
$$3p^2-4pq+3q^2=11\times 61$$
が成り立つ。また、$1\leq p,q\leq 2$ であるから、
$pq\equiv 2\mod 3$ である。
このとき、
$$3p^2-4pq+3q^2\equiv 1\mod 3$$
となるが、$11\times 61\equiv 2\mod 3$
より、不適。
(ii) $p+q=11$ のとき
$$3p^2-4pq+3q^2=3\times 61$$
が成り立つ。また、
$$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=121-2pq$$
より、
$$3p^2-4pq+3q^2=363-10pq=3\times 61$$
$$pq=18$$
このような $p,q$ は、$(p,q)=(2,9),(9,2)$ である。
(iii) $p+q=33$ のとき
$$3p^2-4pq+3q^2= 61$$
が成り立つ。また、
$$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=1089-2pq$$
より、
$$3p^2-4pq+3q^2=3267-10pq=61$$
$$10pq=3206$$
となるが、$pq$ は整数なので、この等式は成り立たない。
よって、求める組は、$(p,q)=(2,9),(9,2)$ である。
ワンポイント
オーソドックスな整数問題ですが、因数分解をしたあと、範囲を絞り込むことが重要です。
