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3x/(x^2+2)が自然数となるxを求めよ(北海道大・文系)

2016年の北海道大学文系の整数問題です。

自然数という条件をうまく使って指針を立てましょう。

 

問題

$\frac{3x}{x^2+2}$ が自然数であるような $x$ をすべて求めよ。

2016年北海道大学文系より

 

解答

$n$ を $\frac{3x}{x^2+2}=n$ を満たす自然数とする。

このとき、$nx^2-3x+2n=0$ が成り立つ。

これを満たす実数 $x$ が存在するためには、この式は $x$ についての解を持たなければならない。

つまり、この2次方程式の判別式 $D$ は $D\geq 0$ を満たすため、

$$D=9-8n^2\geq 0$$

となる。よって、これを満たす自然数は、$n=1$ のみである。

最後に、$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$ を解けばよい。

よって、求める解は $x=1,2$ である。

 

ワンポイント

$x$ が整数という条件は与えられていないので注意しましょう。

また、自然数は $n\geq 1$ を満たすことをうまく利用すると良いです。なぜ、整数ではなく自然数なのか、その違いから条件を絞り込めないか考えてみましょう。