2016年の北海道大学文系の整数問題です。
自然数という条件をうまく使って指針を立てましょう。
問題
$\frac{3x}{x^2+2}$ が自然数であるような $x$ をすべて求めよ。
2016年北海道大学文系より
解答
$n$ を $\frac{3x}{x^2+2}=n$ を満たす自然数とする。
このとき、$nx^2-3x+2n=0$ が成り立つ。
これを満たす実数 $x$ が存在するためには、この式は $x$ についての解を持たなければならない。
つまり、この2次方程式の判別式 $D$ は $D\geq 0$ を満たすため、
$$D=9-8n^2\geq 0$$
となる。よって、これを満たす自然数は、$n=1$ のみである。
最後に、$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$ を解けばよい。
よって、求める解は $x=1,2$ である。
ワンポイント
$x$ が整数という条件は与えられていないので注意しましょう。
また、自然数は $n\geq 1$ を満たすことをうまく利用すると良いです。なぜ、整数ではなく自然数なのか、その違いから条件を絞り込めないか考えてみましょう。
