2020年の熊本大学医学部医学科の整数問題です。
本来は誘導部分がありますが、そこは省略しています。
問題
$x^2+5y^2=2z^2$ を満たす自然数 $x,y,z$ の組は存在しないことを示せ。
2020年熊本大学医学部医学科より
解答
$a$ が自然数のとき、$a^2\equiv 0^2,1^2,2^2,3^2,4^2\mod 5$ のいずれかである。
まとめると、$a^2\equiv 0,1,4\mod 5$ となる。
$x^2+5y^2=2z^2$ を満たす自然数の組 $x,y,z$ が存在すると仮定する。
このとき、$x$ は自然数であるから、この式を満たす最小の $x$ が存在する。(*)
ここで、$x^2+5y^2$ について、
$$x^2+5y^2\equiv x^2\equiv 0,1,4\mod 5$$
のいずれかである。
また、$2z^2$ について、
$$2z^2\equiv 0,2,3$$
のいずれかである。
両辺が等しいとき、両辺を $5$ で割ったあまりも等しい。
このことから、
$$x^2+5y^2=2z^2\equiv 0\mod 5$$
でなければならない。
このとき、$x^2\equiv 2z^2 \equiv 0\mod 0$ であるから、$x\equiv z\equiv 0\mod 5$ である。
ここで、自然数 $i,j$ を用いて、$x=5i,y=5j$ とする。
すると、$25i^2+5y^2=25j^2$ となり、これを簡単にすると $5i^2+y^2=5j^2$ である。
ここで、$y^2$ は $5$ の倍数であるとわかるから、自然数 $k$ を用いて $y=5k$ とおく。
すると、$5i^2+25k^2=5j^2$ より、$i^2+5k^2=j^2$ となる。
よって $(i,k,j)$ は $x^2+5y^2=2z^2$ の解である。
これは、$x>i$ より、(*)に矛盾する。
よって、$x^2+5y^2=2z^2$ を満たす自然数の組 $x,y,z$ は存在しない。
ワンポイント
実際の試験では、$a^2\equiv 0,1,4\mod 5$ となることの証明が誘導として与えられていました。
ここでの解法は背理法を利用しています。
最小の $x$ が存在しないという仮定を立てるのは難しいかもしれません。しかし、小さい解が無限にでてくるということは、いつか自然数の範囲を超えてしまうということなので、そのような記述の仕方でも構いません。
