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x^2+5y^2=2z^2を満たす自然数の組は存在しない(熊本大・医学科)

2020年の熊本大学医学部医学科の整数問題です。

本来は誘導部分がありますが、そこは省略しています。

 

問題

$x^2+5y^2=2z^2$ を満たす自然数 $x,y,z$ の組は存在しないことを示せ。

2020年熊本大学医学部医学科より

 

解答

$a$ が自然数のとき、$a^2\equiv 0^2,1^2,2^2,3^2,4^2\mod 5$ のいずれかである。

まとめると、$a^2\equiv 0,1,4\mod 5$ となる。

 

$x^2+5y^2=2z^2$ を満たす自然数の組 $x,y,z$ が存在すると仮定する。

このとき、$x$ は自然数であるから、この式を満たす最小の $x$ が存在する。(*)

 

ここで、$x^2+5y^2$ について、

$$x^2+5y^2\equiv x^2\equiv 0,1,4\mod 5$$

のいずれかである。

また、$2z^2$ について、

$$2z^2\equiv 0,2,3$$

のいずれかである。

 

両辺が等しいとき、両辺を $5$ で割ったあまりも等しい。

このことから、

$$x^2+5y^2=2z^2\equiv 0\mod 5$$

でなければならない。

このとき、$x^2\equiv 2z^2 \equiv 0\mod 0$ であるから、$x\equiv z\equiv 0\mod 5$ である。

 

ここで、自然数 $i,j$ を用いて、$x=5i,y=5j$ とする。

すると、$25i^2+5y^2=25j^2$ となり、これを簡単にすると $5i^2+y^2=5j^2$ である。

ここで、$y^2$ は $5$ の倍数であるとわかるから、自然数 $k$ を用いて $y=5k$ とおく。

すると、$5i^2+25k^2=5j^2$ より、$i^2+5k^2=j^2$ となる。

よって $(i,k,j)$ は $x^2+5y^2=2z^2$ の解である。

これは、$x>i$ より、(*)に矛盾する。

よって、$x^2+5y^2=2z^2$ を満たす自然数の組 $x,y,z$ は存在しない。

 

ワンポイント

実際の試験では、$a^2\equiv 0,1,4\mod 5$ となることの証明が誘導として与えられていました。

ここでの解法は背理法を利用しています。

最小の $x$ が存在しないという仮定を立てるのは難しいかもしれません。しかし、小さい解が無限にでてくるということは、いつか自然数の範囲を超えてしまうということなので、そのような記述の仕方でも構いません。