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f(x)=x^3+2x^2+2のとき|f(n)|と|f(n+1)|が素数となる(京大)

2019年の京都大学理系の素数を絡めた整数問題です。

一見、複雑かもしれませんが、最初の指針を立てることができれば、かなり的が絞られます。

 

問題

$f(x)=x^3+2x^2+2$ とする。$|f(n)|$ と $|f(n+1)|$ がともに素数となる整数 $n$ をすべて求めよ。

2019年京都大学理系より

 

解答

$n$ が偶数である場合を考える。

このとき、$f(n)$ も偶数であることから、$|f(n)|$ が素数となるとき、$|f(n)|=2$ である。

これを満たすような $n$ は $n=-2,0$ である。

 

よって、題意をみたす整数 $n$ は $-3\leq n \leq 0$ を満たす。

ここで、$|f(-3)|=7$、$|f(-2)|=2$、$|f(-1)|=3$、$|f(0)|=2$、$|f(1)|=5$ となり、これらはすべて素数である。

よって、求める整数 $n$ は、$n=-3,-2,-1,0$ である。

 

ワンポイント

$f(n)$ の定数項が $2$ であるということに注目できると、$n$ が偶数のとき $f(n)$ も偶数であることが判断できます。

また、素数である偶数は $2$ のみであることも忘れないでください。