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p^q=q^p+7を満たす素数の組(東北大・理系第2問)

2016年の東北大学理系第2問の、素数が絡んだ整数問題です。

数学的帰納法で証明する誘導付きですので、比較的易しい問題となっています。

 

問題

以下の問いに答えよ.

(1) $6$ 以上の整数 $n$ に対して不等式

$$2^n>n-2+7$$

が成り立つことを数学的帰納法により示せ.

(2) 等式

$$ p^q=q^p+7$$

を満たす素数の組 $(p,q)$ をすべて求めよ.

2016年東北大学理系第2問より

 

解答

(1)

$n=6$ のとき、$2^n=64$、$n^2+7=43$ より、$2^n>n^2+7$。

$k\geq 6$ で $n=k$ のとき、$2^n>n^2+7$ であると仮定する。つまり、$2^k>k^2+7$ である。

このとき、

$$k^2+7>2k+1$$

であるから、

$$\begin{align}(k+1)^2+7&=(k^2+7)+(2k+1)\\&<2(k^2+7)\\&<2^{k+1}\end{align}$$

となる。ただし、最終行は仮定より導かれる。

よって、数学的帰納法により、すべての整数 $n\geq 6$ で、

$$2^n>n^2+7$$

が成り立つ。

 

(2)

$ p^q=q^p+7$ のとき、$7$ が奇数であるため、$p,q$ の偶奇は異なる。

よって、$p=2$ または $q=2$ のいずれかである。

 

(i) $p=2$ のとき

$2^q=q^2+7$ を満たす素数 $q$ を見つけたい。

(1) より、$q< 6$ であるから、等式を満たす可能性があるのは、$q=3,5$ である。

$q=3$ のとき、$2^q=8$、$q^2+7=16$ より不適。

$q=5$ のとき、$2^q=32=q^2+7$ である。

 

(ii) $q=2$ のとき

$ p^2=2^p+7$ を満たす素数 $p$ を見つけたい。

このとき、$2^p=p^2-7$ である。

$p\geq 6$ のとき、(1) より、

$$2^p>p^2+7> p^2-7$$

となるため $2^p\neq p^2-7$ であるから不適。

$p=3$ のとき、$p^2=9$、$2^p+7=15$ より不適。

$p=5$ のとき、$p^2=25$、$2^p+7=39$ より不適。

 

よって、求める素数の組は $(p,q)=(2,5)$ である。

 

ワンポイント

素数を含む等式が出たとき、偶奇によって素数の絞り込みが役立つことが多いです。

それさえ見つけられれば、誘導によって(2)の等式を満たす素数がだいぶ絞り込め、比較的簡単に解くことができました。