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|x^2-x-23|を3で割って2あまる正数xを求めよ(東工大)

2020年の東京工業大学の整数問題です。

絶対値がついていますが、特に難しい問題ではありません。

 

問題

$|x^2-x-23|$ の値が, $3$ を法として $2$ に合同である正の整数 $x$ をすべて求めよ。

2020年東京工業大学より

 

解答

まず、$x \mod 3$ で場合分けをする。

$x\equiv 0\mod 3$ のとき、$x^2-x-23\equiv 1\mod 3$。

$x\equiv 1\mod 3$ のとき、$x^2-x-23\equiv 1\mod 3$。

$x\equiv 2\mod 3$ のとき、$x^2-x-23\equiv 0\mod 3$。

よって、これらは $3$ で割って $2$ あまる数ではないから、$x^2-x-23<0$ だとわかる。

また、このとき $|x^2-x-23|\equiv 2\mod 3$ となるのは $x\equiv 0,1\mod 3$ のときであるとわかる。(*)

 

$f(x)=x^2-x-23$ とおくと、$f(x)$ は $x=1/2$ に軸をとり、$f(5)=-3$、$f(6)=7$ となる。

よって、$x^2-x-23<0$ となる正の $x$ の範囲は $1\leq x\leq 5$ である。

(*)とこの条件を合わせ、求める $x$ は $x=1,3,4$ であるとわかる。

 

ワンポイント

$x^2-x-23<0$ で $x^2-x-23\equiv 1\mod 3$ のとき、$|x^2-x-23|\equiv -1\equiv 2\mod 3$ となります。