2017年の徳島大学医学部（保健）・工学部の第2問の整数問題です。
できそうなことがたくさんありますが、整数問題の基礎がわかっていれば難しくはない問題です。
問題
正の整数 $N$ を $3$ 倍して $7$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $abc_{(7)}$ となり, $N$ を $4$ 倍して $8$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $acb_{(8)}$ となる. 各位の数字 $a,b,c$ を求めよ. また, $N$ を $10$ 進法で表せ.
2017年徳島大学医学部（保健）・工学部の第2問(3)より
解答
与えられた問題文の情報を $10$ 進法で整理すると、
$$3N=49a+7b+c\qquad (1)$$
$$4N=64a+b+8c\qquad (2)$$
となり、また、$a\neq 0$、$0\leq a,b,c \leq 6$ である。
(2)式より、$b\equiv 0\mod 4$ であるから、$b=0,4$ である。
そこで、$k=0,1$ を用いて、$b=4k$ とおく。
(2)式にこれを代入すると、
$$4N=64a+4k+8c$$
$$N=16a+k+2c$$
$$3N=48a+3k+6c$$
が得られる。これを(2)式から引くと、
$$0=a+25k-5c$$
が得られる。
よって、$a\equiv 0\mod 5$。$a\neq 0$ より、$a=5$ である。
整理すると、$c=1+5k$ が得られる。
ここから、$k=0,1$ であることを利用する。
$k=0$ のとき、$c=1$、よって、$N=82$。
$k=1$ のとき、$c=6$、よって、$N=93$。
が得られる。
したがって、求める組は、
$$(a,b,c,N)=(5,0,1,82),(5,4,6,93)$$
である。
ワンポイント
$n$ 進法に使われる各位の数は、最大でも $n-1$ となることを利用しました。
この条件と剰余類に注目することで、簡単に各位の数の絞り込みができました。
