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3Nを7進法で表すとabc,4Nを8進法で表すとacbとなるa,b,c,N(徳島大)

2017年の徳島大学医学部(保健)・工学部の第2問の整数問題です。

できそうなことがたくさんありますが、整数問題の基礎がわかっていれば難しくはない問題です。

 

問題

正の整数 $N$ を $3$ 倍して $7$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $abc_{(7)}$ となり, $N$ を $4$ 倍して $8$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $acb_{(8)}$ となる. 各位の数字 $a,b,c$ を求めよ. また, $N$ を $10$ 進法で表せ.

2017年徳島大学医学部(保健)・工学部の第2問(3)より

 

解答

与えられた問題文の情報を $10$ 進法で整理すると、

$$3N=49a+7b+c\qquad (1)$$

$$4N=64a+b+8c\qquad (2)$$

となり、また、$a\neq 0$、$0\leq a,b,c \leq 6$ である。

 

(2)式より、$b\equiv 0\mod 4$ であるから、$b=0,4$ である。

そこで、$k=0,1$ を用いて、$b=4k$ とおく。

(2)式にこれを代入すると、

$$4N=64a+4k+8c$$

$$N=16a+k+2c$$

$$3N=48a+3k+6c$$

が得られる。これを(2)式から引くと、

$$0=a+25k-5c$$

が得られる。

よって、$a\equiv 0\mod 5$。$a\neq 0$ より、$a=5$ である。

整理すると、$c=1+5k$ が得られる。

 

ここから、$k=0,1$ であることを利用する。

$k=0$ のとき、$c=1$、よって、$N=82$。

$k=1$ のとき、$c=6$、よって、$N=93$。

が得られる。

 

したがって、求める組は、

$$(a,b,c,N)=(5,0,1,82),(5,4,6,93)$$

である。

 

ワンポイント

$n$ 進法に使われる各位の数は、最大でも $n-1$ となることを利用しました。

この条件と剰余類に注目することで、簡単に各位の数の絞り込みができました。