2012年の鳥取大学地域、医学部医学科の第2問の整数問題です。
誘導もあるので、誘導込みで問題と解答をご紹介します。
ポイントは、大小関係を使った絞り込みです。
問題
$a,b,c$ を正の整数とするとき, 等式
$$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right) \left(1+\frac{1}{c}\right)=2$$
について次の問いに答えよ.
（１）$c=1$ のとき, この等式を満たす正の整数 $a,b$ は存在しないことを示せ.
（２）$c=2$ のとき, この等式を満たす正の整数 $a$ と $b$ の組で $a\geq b$ を満たすものをすべて求めよ.
（３）この等式を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ で $a\geq b\geq c$ を満たすものをすべて求めよ.
2012年鳥取大学地域・医学部医学科第2問より
解答
（１）$c=1$ のとき、等式は
$$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right) =1$$
となるが、$1+\frac{1}{a} >1, 1+\frac{1}{b} >1$ より、左辺は $1$ より大きいので、この等式を満たす正の整数は存在しない。
（２）$c=2$ のとき、等式は
$$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right) =\frac{4}{3}$$
となる。
$a\geq b$ のとき、
$$\frac{4}{3}=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\leq\left(1+\frac{1}{b}\right)^2$$
となる。
これを変形すると、$b\leq 2\sqrt{3}+3$ となるので、$b\leq 6$ である。
また、$1+\frac{1}{a} >1$ であるから、$1+\frac{1}{b}<\frac{4}{3}$ である。簡単にすると、$b>3$。
$b=4$ のとき、$a=15$。
$b=5$ のとき、$a=9$。
$b=6$ のとき、$a=7$。
よって、求める組は、$(a,b)=(7,6),(9,5),(15,4)$ である。
（３）$c=1,2$ の場合はすでに求めたので、$c\geq 3$ とする。
このとき、$1+\frac{1}{c}\leq \frac{4}{3}$ であるから、
$$2\leq\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\frac{4}{3}$$
$$\frac{3}{2}\leq\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)$$
となる。
さらに、$1+\frac{1}{a}\leq 1+\frac{1}{b}$ から、
$$\frac{3}{2}\leq\left(1+\frac{1}{b}\right)^2$$
となり、これを簡単にすると、$b\leq \sqrt{6}+2$ となる。
よって、$b\leq 4$。
$b=c=3$ のとき、$a=8$。
$b=4,c=3$ のとき、$a=5$。
$b=c=4$ のとき、$a=25/7$ となり不適。
（１）（２）と合わせると、求める整数の組は、
$$(a,b,c)=(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2),(8,3,3),(5,4,3)$$
となる。
ワンポイント
整数問題の基本的な絞り込みの方法で、簡単に解くことができます。
（３）では、誘導を生かした絞り込みができると、計算量が少なくなります。
