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yはxの整数倍でx≧2、x^2+6!=y^2を満たす整数の組(富山大学)

2014年の富山大学(文系・理系)の整数問題です。

基本的な因数分解から、式を満たす整数を絞り込んでいきます。

 

問題

次の条件(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)を同時に満たす整数の組 $(x,y)$ をすべて求めよ.

(ⅰ)$y$ は $x$ の整数倍である

(ⅱ)$x\geq 2$

(ⅲ)$x^2+6!=y^2$

2014年富山大学工学部などより

 

解答

(i) の条件より、整数 $k$ を用いて、$y=kx$ とおく。

(iii) より、

$$6!=(kx)^2-x^2=(k^2-1)x^2$$

である。

$k^2-1$ が整数であることから、$6!$ は $x^2$ で割り切ることができる。

そのような $x\geq 2$ は、$x=2,3,4,6$ である。

 

$x=2$ のとき、$k^2-1=180$、 $k^2=181$ であるが、$181$ は平方数でないので不適。

同様に、$x=4$ のとき、$k^2-1=45$、 $k^2=46$ より不適。

$x=6$ のとき、$k^2-1=20$、 $k^2=21$ より不適。

 

$x=3$ のとき、$k^2-1=80$、 $k^2=81$。よって、$k=\pm 9$。

 

したがって、求める整数の組は、$(x,y)=(3,27),(3,-27)$ である。

 

ワンポイント

因数分解と、$6!$ が $x^2$ で割り切れることがわかれば、簡単な問題です。

指針が立てられなくても、与えられた条件のどこをいじれるかなどを考えることが大切です。この問題では二乗の差の形に注目できるといいですね。