学校の授業中に虚数単位の虚数単位の虚数単位の...乗乗乗乗の話が出てきました。
ぱっと見では全然どのくらいの数字になるのかわからないですよね。
実はこの値は収束するらしいのです。
気になって求めてみちゃいました。
オイラーの公式
実はこの値を表計算で求めるのに必要なのはオイラーの公式だけなんです。
オイラーの公式は次のようになります。
これはかなり有名な公式ですね。
これを使ってテトレーションを求めてみましょう。
問題
のテトレーションがわからない人のために、簡単に漸化式で表してみましょう。
問. を虚数単位とする. 数列
を次のように定めるとき,
を求めよ.
,
準備
先ほどのオイラーの公式を使って、エクセルでも計算しやすくしてみます。
わかりやすく、 としておきます。
また であることを利用して、
入力
この計算から、 ,
ということがわかります。
あとは と一緒に表計算ソフトに実部、虚部を分けて入力しましょう。
これで漸化的に、 の値を大きくしていけば、どんどん極値に近づいていきます。
結果が に近づけば正しく計算できています。
ぜひ表をプロットしてみたりして遊んでください！
プロットすると一番上の画像のような、点の配置になるはずです。
