イプシロンデルタ論法のデルタの求め方

こちらの記事では、解析学の最初のポイントでもあるイプシロンデルタ論法の、デルタの値の取り方について例題を用いて説明していきたいと思います。

似たような記事は色々見かけたのですが、どれもデルタありきの話をしているものだったので、執筆に至った次第です。

ページの最後に追加の例題集のページのリンクが貼ってあります。ぜひご活用ください。

イプシロンデルタ論法とは
例題
- 例題１
- 例題２
さらなる証明例題集
まとめ
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イプシロンデルタ論法とは

まず簡単にイプシロンデルタ論法を説明します。

イプシロン・デンタ論法（$\varepsilon-\delta$論法）とは、関数の極限値について、厳密に定義したものになります。

例えば$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$は、関数$f(x)$の$x$が$c$に近づいた時の極限値が$L$であることを示しますが、これをイプシロンデルタ論法を使えば、

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta >0)[|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon]$$

というふうに定義されます。

記号が読めない方のために簡単に説明をすれば、どんな正の数$\varepsilon$が与えられても、それに対応する$|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$が成り立つような正の数$\delta$が存在する（見つけることができる）ということです。

つまり先ほどの極限を証明するためには、与えられた $\varepsilon$ に対する $\delta$ を見つけなければならないのです。

本稿では、その $\delta$ の求め方を説明しようというわけです。

例題

例題１

問題. $\lim_{x\rightarrow 1}2x=2$ を証明せよ.

$\varepsilon>0$ が与えられているとします。

先ほど説明した定義より、$|x-1|<\delta\Rightarrow|2x-2|<\varepsilon$ が成り立つような正の数 $\delta$ が存在することを証明すれば良いのです。

ここで、最終的に欲しいのは $|2x-2|<\varepsilon$ で、どうしても利用したいのが $|x-1|<\delta$ という形です。なので前者を後者が利用できる形に変形してみます。すると、

$$|2x-2|<\varepsilon\Leftrightarrow2|x-1|<\varepsilon\Leftrightarrow|x-1|<\frac{\varepsilon}{2}$$

という形に変形ができます。

この変形は同値関係なので最後に変形した形が証明できればいいわけです。

すると $\delta=\frac{\varepsilon}{2}$ とおくだけで、

$$|x-1|<\delta=\frac{\varepsilon}{2}\Leftrightarrow|2x-2|=2|x-1|<2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$

つまり $|x-1|<\delta\Rightarrow|2x-2|<\varepsilon$ となって必要事項が示せました。

これで証明が完了です。

だいたいイプシロン・デルタ論法自体の流れは掴めたと思うので、次の問題からは少しだけ説明を省略しつつ、トリッキーなところに重点を置いて説明したいと思います。

例題２

問題. $\lim_{x\rightarrow 2}x^2=4$ を証明せよ.

示したいのは、$(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)[|x-2|<\delta\Rightarrow|x^2-4|<\varepsilon]$ です。

先ほどと同じように、同値関係を崩さないように後半部分を $|x-2|<\delta$ が使えるように変形していきます。

$$|x^2-4|<\varepsilon\Leftrightarrow|x-2||x+2|<\varepsilon$$

ここからがポイントです。

（＊）「仮に」$|x-2|<1$ とします。仮にです。本来は１でなくても正の数なら扱いやすければなんでもいいです。

このとき、$1<x<3$ なので $3<|x-2|<5$ となります。まだ「仮に」の状態です。

この条件を使ってさらに式変形を行うと、

$$|x-2||x+2|<\delta\times5$$

となります。まだ「仮」の状態です。

この状態で $|x-2||x+2|<\varepsilon$ とするには、 $\delta\times5\le\varepsilon$、つまり $\delta\le\frac{5}{\varepsilon}$ とすれば良いことがわかります。

ここで最初の仮定を思い出しましょう。

$|x-2|<1$ と仮定したことによって、$|x-2|<\delta\le1$ としなければ最後の結果にたどり着けないことになります。

なので、$\delta=\min(1,\frac{5}{\varepsilon})$（$\delta$ は $1$ か $\frac{5}{\varepsilon}$ のどちらか小さい方をとるという意味＜$\varepsilon$ のとる値によって決まる＞）とすることによって、$|x-2|<\delta\le1$ と $\delta\le\frac{5}{\varepsilon}$ の両方を常に満たすことができる（仮に設定した条件のもとで証明が成り立つ）ということです。