Nick'97

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イプシロンデルタ論法【例題11】多項式関数の連続性

こちらのページでは多項式関数の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

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多項式関数の連続性

例題11

例題11:$f(x)$ が一次以上の多項式($f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n$)のとき, $$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$$ を証明せよ.

証明:$\varepsilon >0$ とする. $|f(c)-f(c)|=0$ なので, $|f(x)-f(c)|$ は, ある多項式 $Q(x)$ を用いて, $|f(x)-f(c)||x-c||Q(x)|$ と表すことができる. ここで, ある $\delta>0$ について $|x-c|<\delta$ のとき, 三角不等式を用いて $|Q(x)|$ がある上限 $a>0$ を持つことが示せる. つまり, $\delta=\frac{\varepsilon}{a}>0$ のとき,

$$|f(x)-f(c)|=|x-c||Q(x)|\leq |x-c|a<a\frac{\varepsilon}{a}=\varepsilon$$

が成り立つ. つまり,

$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\varepsilon$$

が示された. よって題意は示された.

 

ポイント

$|f(x)-f(c)|$ が常に因数分解ができる形となることに着目します。