こちらのページでは対数関数の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。
イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。
対数関数の連続性
例題１０
例題１０：$f(x)=\log x$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\log c$$ を証明せよ. ただし, $c>0$ とする.
証明：$\varepsilon>0$ とする. すると,
$$\begin{align} |\log x-\log c|<\varepsilon & \Leftrightarrow |\log \frac{x}{c}|<\varepsilon\\ &\Leftrightarrow -\varepsilon<\log \frac{x}{c}<\varepsilon \\ &\Leftrightarrow e^{-\varepsilon} < \frac{x}{c} < e^\varepsilon\\ &\Leftrightarrow ce^{-\varepsilon} < x < ce^\varepsilon\\ &\Leftrightarrow ce^{-\varepsilon}-c < x-c < ce^\varepsilon-c\\ &\Leftarrow |x-c|<\min(ce^\varepsilon-c, c-ce^{-\varepsilon}) \end{align}$$
となる. ここで, $0<\delta = \min(ce^\varepsilon-c, c-ce^{-\varepsilon})$ とおけば,
$$|x-c|<\delta\Rightarrow |\log x-\log c|<\varepsilon$$
が成り立つ. よって題意は示された.
ポイント
指数関数のときと同様に、今回は底が $e$ の場合について証明しましたが、底が異なる数字の場合は底の変換公式を用いれば、底が $e$ の場合と同じように証明することができます。
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イプシロン・デルタ論法を使いこなすための例題がたくさん載っています。今回をきっかけに苦手をなくしておきましょう。
