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x^3+4y^3=9z^3をみたす自然数x,y,zは存在しない(東京海洋大)

2014年の東京海洋大学の整数問題です。

問題の形は整数問題でよくあるものですが、ちょっとした工夫が必要です。

 

問題

$x^3+4y^3=9z^3$ をみたす自然数 $x,y,z$ は存在しないことを示せ.

2014年東京海洋大学より

 

解答

$(x,y,z)$ をこの等式が成り立つ $x$ が最小の解だと仮定する。

 

任意の整数は、整数 $k$、$l=0,\pm 1$ を用いて $3k+l$ と表すことができる。

ここで、

$$(3k+l)^3\equiv 27k^3+27k^2 l+9kl^2+l^3\equiv l^3\mod 9$$

であるから、$x^3,y^3\equiv 0,\pm 1\mod 9$ であることがわかる。

ここで、

$$x^3+4y^3\equiv 9z^3\equiv 0\mod 9$$

となるのは $x^3\equiv y^3\equiv 0\mod 9$ のときのみであるから、$x,y$ はともに $3$ の倍数である。

 

ここで、整数 $a,b$ を用いて $x=3a,y=3b$ とおくと、

$$x^3+4y^3=27a^3+4\times 27b^3=9z^3$$

$$3a^3+12b^3=z^3$$

となる。

左辺が $3$ の倍数であるから、$z$ も $3$ の倍数である。

同様にして、整数 $c$ を用いて $z=3c$ とおくと、

$$3a^3+12b^3=27c^3$$

$$a^3+4b^3=9c^3$$

となる。

よって $(a,b,c)$ は $x^3+4y^3=9z^3$ の解である。

しかし、$a<x$ となるため、仮定に矛盾する。

 

よって、等式を満たす自然数の組は存在しない。

 

ワンポイント

$9$ の剰余類に着目すると簡単に解けました。

また、解が存在すると仮定すると、無限に小さい解が見つかることを利用して、最小の解を仮定したところから解答を始めました。