2015年の旭川医科大学の因数分解と整数の問題です。
因数分解は少し難しいかもしれませんが、そこができれば簡単です。
問題
$f(p,q,r)= p^3-q^3-27r^3-9pqr$ について, 次の問いに答えよ.
(1) $f(p,q,r)$ を因数分解せよ.
(2) $f(p,q,r)=0$ と $p^2-10q-30r=11$ との両方を満たす正の整数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めよ.
2015年旭川医科大学より
解答
(1)
一般に、
$$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=x^3+y^3+z^3-3xyz$$
であるから、
$$f(p,q,r)=(p-q-3r)(p^2+q^2+9r^2+pq+3pr-3qr)$$
と因数分解できる。
(2)
$X= p^2+q^2+9r^2+pq+3pr-3qr $ とおくと、$p,q,r$ が正であるとき、
$$X= p^2+(q-2r)^2+5r^2+pq+3pr+3qr>0$$
であるから、$f(p,q,r)=0$ は $p-q-3r=0$ と同値である。
このとき、$p=q+3r$ であるから、
$$p^2-10q-30r=11$$
より、
$$p^2-10p-11=0$$
$$(p-11)(p+1)=0$$
である。$p>0$ より、$p=11$。
このとき、$11=q+3r$ を満たす正の整数 $q,r$ は、
$$(q,r)=(8,1),(5,2),(2,3)$$
である。
よって、求める組は、
$$(p,q,r)=(11,8,1),(11,5,2),(11,2,3)$$
である。
ワンポイント
因数分解ができないときは、$p$ の降べきの順に並べ、それぞれの係数の因数分解をしてみると、何かが見えてくるかもしれません。
(2)については、$p-q-3r=0$ となることを導き出すことがポイントです。
