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p^3-q^3-27r^3-9pqr=0とp^2-10q-30r=11を満たす正の整数(旭川医科大)

2015年の旭川医科大学の因数分解と整数の問題です。

因数分解は少し難しいかもしれませんが、そこができれば簡単です。

 

問題

$f(p,q,r)= p^3-q^3-27r^3-9pqr$ について, 次の問いに答えよ.

(1) $f(p,q,r)$ を因数分解せよ.

(2) $f(p,q,r)=0$ と $p^2-10q-30r=11$ との両方を満たす正の整数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めよ.

2015年旭川医科大学より

 

解答

(1)

一般に、

$$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=x^3+y^3+z^3-3xyz$$

であるから、

$$f(p,q,r)=(p-q-3r)(p^2+q^2+9r^2+pq+3pr-3qr)$$

と因数分解できる。

 

(2)

$X= p^2+q^2+9r^2+pq+3pr-3qr $ とおくと、$p,q,r$ が正であるとき、

$$X= p^2+(q-2r)^2+5r^2+pq+3pr+3qr>0$$

であるから、$f(p,q,r)=0$ は $p-q-3r=0$ と同値である。

このとき、$p=q+3r$ であるから、

$$p^2-10q-30r=11$$

より、

$$p^2-10p-11=0$$

$$(p-11)(p+1)=0$$

である。$p>0$ より、$p=11$。

このとき、$11=q+3r$ を満たす正の整数 $q,r$ は、

$$(q,r)=(8,1),(5,2),(2,3)$$

である。

よって、求める組は、

$$(p,q,r)=(11,8,1),(11,5,2),(11,2,3)$$

である。

 

ワンポイント

因数分解ができないときは、$p$ の降べきの順に並べ、それぞれの係数の因数分解をしてみると、何かが見えてくるかもしれません。

(2)については、$p-q-3r=0$ となることを導き出すことがポイントです。