2012年の熊本大学の第1問の整数問題です。
数の性質をよく見て、絞り込みが簡単にできるように工夫してみましょう。
問題
$x$ の方程式 $(2a-1)x^2+(3a+2)x+a+2=0$ が少なくとも $1$ つの整数解をもつような整数 $a$ の値とそのときの整数解をすべて求めよ.
2012年熊本大学文系理系第1問(2)より
解答
等式を $x$ の二次方程式としてみると、これが整数解をもつとき、この判別式は平方数である。
よって、判別式 $D$ は、ある非負整数 $k$ を用いて、
$$D=a^2+12=k^2$$
と表せる。よって、
$$(a-k)(a+k)=-12$$
である。$a-k<a+k$、$a-k,a+k$ の偶奇は一致することから、
$$(a-k,a+k)=(-6,2),(-2,6)$$
である。よって、$a=\pm 2$。
$a=2$ のとき、方程式は $3x^2+8x+4=(3x+2)(x+2)=0$ となり、整数解 $x=-2$ をもつ。
$a=-2$ のとき、方程式は $-5x^2-4x=0$ となり、整数解 $x=0$ をもつ。
ワンポイント
$k$ を非負整数と限定することと、$a-k,a+k$ の偶奇の一致性に着目すると、絞り込みがとても少なくなります。
また、「整数解をもつ二次方程式の判別式は平方数である」という事実を使う整数問題も多いので、忘れないようにしましょう。
