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2≦p<q<rを満たす整数で1/p+1/q+1/r≧1となるもの(群馬大)

2010年の群馬大学(文系)の整数問題です。

整数問題の基本中の基本の問題です。絞り込みをうまく使うと簡単に解くことができます。

 

問題

$2\leq p<q<r$ を満たす整数 $p,q,r$ の組で

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\geq 1$$

となるものをすべて求めよ.

2010年群馬大学(文系)より

 

解答

$p,q,r$ の大小関係から、

$$1\leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<\frac{3}{p}$$

である。よって、$p<3$ となることから、$p=2$。

同様に、

$$1\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$$

$$ \frac{1}{2}\leq \frac{1}{q}+\frac{1}{r}<\frac{2}{q}$$

となり、ここから $q<4$、よって$q=3$ が得られる。

 

すると、

$$1\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{r}$$

より、$r\leq 6$ となる。

よって、$r=4,5,6$。

 

したがって、求める解は、 $(p,q,r)=(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6)$ である。

 

ワンポイント

このような分数を使った問題で大小関係が与えられている場合、絞り込みによって問題が簡単になることが多いです。