2010年の群馬大学（文系）の整数問題です。
整数問題の基本中の基本の問題です。絞り込みをうまく使うと簡単に解くことができます。
問題
$2\leq p<q<r$ を満たす整数 $p,q,r$ の組で
$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\geq 1$$
となるものをすべて求めよ.
2010年群馬大学（文系）より
解答
$p,q,r$ の大小関係から、
$$1\leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<\frac{3}{p}$$
である。よって、$p<3$ となることから、$p=2$。
同様に、
$$1\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$$
$$ \frac{1}{2}\leq \frac{1}{q}+\frac{1}{r}<\frac{2}{q}$$
となり、ここから $q<4$、よって$q=3$ が得られる。
すると、
$$1\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{r}$$
より、$r\leq 6$ となる。
よって、$r=4,5,6$。
したがって、求める解は、 $(p,q,r)=(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6)$ である。
ワンポイント
このような分数を使った問題で大小関係が与えられている場合、絞り込みによって問題が簡単になることが多いです。
