2016年の京都大学文系の第3問の整数問題です。
n進法の定義の理解がしっかりしていれば難なく解けるはずです。
問題
$n$ を $4$ 以上の自然数とする. 数 $2,12,1331$ がすべて $n$ 進法で表記されているとして,
$$2^{12}=1331$$
が成り立っている. このとき $n$ はいくつか. 十進法で答えよ.
2016年京都大学文系第3問より
解答
まず、それぞれの数字を定義に従って十進法で表す。
$$2_{(n)}=2_{(10)}$$
$$12_{(n)}=n+2_{(10)}$$
$$1331_{(n)}=n^3+3n^2+3n+1_{(10)}=(n+1)^3_{(10)}$$
以下は十進法で計算することとする。
上記より、
$$2^{n+2}=(n+1)^3$$
となる $n$ を探せば良い。
左辺は偶数より、$n$ は奇数となる。
$n=5$ のとき、$2^{n+2}\equiv 3\mod 5$、$(n+1)^3\equiv 1\mod 5$ より不適。
$n=7$ のとき、$2^{n+2}=512=(n+1)^3$。
ここから、$n=7$ 以外の解がないことを示すために、「$n\geq 8$ のとき、$2^{n+2}>(n+1)^3$ である」ことを数学的帰納法により証明する。
$n=8$ のとき、$2^{n+2}=1024>729=(n+1)^3$。
$n=k\geq 8$ のとき、$2^{n+2}>(n+1)^3$ であると仮定する。つまり、$2^{k+2}>(k+1)^3$ である。
このとき、
$$\begin{align}(k+2)^3&=\left(\frac{k+2}{k+1}\right)^3(k+1)^3\\&=\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^3(k+1)^3\\&\leq\left(1+\frac{1}{9}\right)^3(k+1)^3\\&\leq\left(1.2\right)^3(k+1)^3\\&=1.728(k+1)^3\\&<2\cdot 2^{k+2}\\&=2^{k+3}\end{align}$$
となり、$n=k+1$ でも $2^{n+2}>(n+1)^3$ が成立することがわかる。
よって、「$n\geq 8$ のとき、$2^{n+2}>(n+1)^3$ である」ことが示された。
以上により、求める $n$ は $n=7$ である。
ワンポイント
左辺と右辺の増加速度の違いに注目し、数学的帰納法により $7$ より大きい解の存在を否定しました。
また、$n$ が奇数であることに気がつけるだけで場合分けの数が減らせるので、常にそういった特徴がないかを探せると良いです。
