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イプシロンデルタ論法【例題8】特殊な三角関数の連続性

こちらのページでは特殊な三角関数の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

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特殊な三角関数の連続性

例題8

例題8:$f(x)=\sin (\frac{1}{x})$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\sin(\frac{1}{c})$$ を証明せよ. ただし, $c> 0$ とする.

証明:$\varepsilon >0$ とする. $0<\delta=\frac{c}{2}$ とおくと, $|x-c|<\delta$ のとき, $|x|>\frac{c}{2}$ なので,

$$|f(x)-f(c)|=|\sin(\frac{1}{x})-\sin(\frac{1}{c})|=2|\cos(\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{c}))||\sin(\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{c}))|\leq 2|\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{c})|\leq \frac{|x-c|}{cx}<\frac{2}{c^2}\delta$$

が成り立つ. ここで, $0<\delta<\frac{c^2}{2}\varepsilon$ とおけば,

$$|f(x)-f(c)|<\frac{2}{c^2}\delta\leq \varepsilon$$

となる. つまり, $\delta = \min (\frac{c}{2},\frac{c^2}{2}\varepsilon)$ とおけば,

$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\varepsilon$$

が成り立つ. よって題意は示された.