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イプシロンデルタ論法【例題9】指数関数の連続性

こちらのページでは指数関数の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

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指数関数の連続性

例題9

例題9:$f(x)=e^x$ のとき, $$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=e^c$$ を証明せよ.

証明:$0<\varepsilon<e^c$ とする. すると,

$$\begin{align} |e^x-e^c|<\varepsilon &\Leftrightarrow -\varepsilon<e^x-e^c<\varepsilon \\ &\Leftrightarrow e^c-\varepsilon<e^x<e^c+\varepsilon \\ &\Leftrightarrow \log(e^c-\varepsilon)<x<\log(e^c+\varepsilon)\\ &\Leftrightarrow \log(e^c-\varepsilon)-c<x-c<\log(e^c+\varepsilon)-c \\ \end{align}$$

となる. ここで, $0<\delta = \min(c-\log(e^c-\varepsilon),\log(e^c+\varepsilon)-c)$ とおけば,

$$|x-c|<\delta\Rightarrow \log(e^c-\varepsilon)-c<x-c<\log(e^c+\varepsilon)-c $$

が成り立ち, ゆえに同値関係から,

$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\varepsilon$$

が得られる. 次に $\varepsilon \geq e^c$ であるときは, $0<\varepsilon_2<e^c$ となる任意の $\varepsilon_2<\varepsilon$ と, それに対応する $\delta$ を上記のように選べば,

$$|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon_2<\varepsilon$$

を得る. よって題意は示された.

 

ポイント

イプシロンの範囲を最初に絞ったのは、真数条件による制約を回避するためです。

制約条件をつけても、そのイプシロンが任意に小さいならば、制約条件なしのイプシロンについての証明に簡単に帰着させることができます。

今回は底が $e$ の場合について証明しましたが、底 $a$ が $1<a$ の場合でもほとんど同じように証明できます。さらに、$0<a<1$ の場合には $f(x)$ の逆数についての極限を求めることで、$1<a$ のケースとして処理できます。