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イプシロンデルタ論法【例題12】特殊な三角関数(xsin1/x)の連続性

こちらのページでは特殊な三角関数の連続性の証明をイプシロンデルタ論法を用いて行います。

イプシロンデルタ論法の定義や基本的な証明の進め方が知りたい方は下の記事からどうぞ。

www.nick97.com

特殊な三角関数の連続性

例題12

例題12:$x\neq 0$で$f(x)=x\sin (\frac{1}{x})$ $$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$$ を証明せよ. 

$\varepsilon >0$ とする. $0<\delta=\varepsilon$ とおくと, $|x-0|<\delta$ のとき,

$$|f(x)-0|=|f(x)|=|x\sin\frac{1}{x}|\leq |x|<\delta=\varepsilon$$

が成り立つ. つまり, $$|x-0|<\delta\Rightarrow|f(x)-0|<\varepsilon$$

が成り立つ. よって題意は示された.

 

関連書籍

作者:原 惟行,松永 秀章 共立出版 2011/12/22