2010年の大阪大学理系の第3問の整数問題です。
とにかく大小関係を使った絞り込みが大切です。うまく絞り込めれば、それだけ計算量を抑えることができます。
問題
$l,m,m$ を $3$ 以上の整数とする. 等式
$$\left(\frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1\right)l=2$$
を満たす $l,m,n$ の組をすべて求めよ.
2010年大阪大学理系第3問より
解答
$l>0$ という条件から、
$$\frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1>0$$
となる。
また、$m\geq 3$ であるから、$1/m\leq 1/3$ である。
よって、
$$1>n\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{m}\right)\geq \frac{1}{6}n$$
となり、 $n<6$ が得られる。
このような $3$ 以上の整数は $n=3,4,5$ である。
(i) $n=3$ のとき
$$\left(\frac{3}{m}-\frac{1}{2}\right)l=2$$
$l>0$ という条件から、
$$\frac{3}{m}-\frac{1}{2}>0$$
である。よって、$m<6$。
$m=3$ のとき、$l=4$。
$m=4$ のとき、$l=8$。
$m=5$ のとき、$l=20$。
(ii) $n=4$ のとき
$$\left(\frac{4}{m}-1\right)l=2$$
$l>0$ という条件から、
$$\frac{4}{m}-1>0$$
である。よって、$m<4$。
よって、$m=3$。このとき、$l=6$。
(iii) $n=5$ のとき
$$\left(\frac{5}{m}-\frac{3}{2}\right)l=2$$
$l>0$ という条件から、
$$\frac{5}{m}-\frac{3}{2}>0$$
である。よって、$m<\frac{10}{3}$。
よって、$m=3$。このとき、$l=12$。
よって、求める整数の組み合わせは、
$$(l,m,n)=(4,3,3),(8,4,3),(20,5,3),(6,3,4),(12,3,5)$$
である。
ワンポイント
ポイントはとにかく絞り込みをうまくすることです。
特に、$3$ 以上の整数という条件が与えられているので、その条件をうまく使えないか模索してみましょう。
