2013年の大阪大学理系の第3問の整数問題です。
剰余類を利用すれば、計算量も少なく、かなり楽に解くことができます。
問題
$4$ 個の整数
$$ n+1,n^3+3,n^5+5,n^7+7$$
がすべて素数となるような正の整数 $n$ は存在しない. これを証明せよ.
2013年大阪大学理系第3問より
解答
$n\equiv 0\mod 3$ のとき
$3<n^3+3\equiv 0\mod 3$ より、$n^3+3$ は素数ではない。
$n\equiv 1\mod 3$ のとき
$3<n^5+5\equiv 0\mod 3$ より、$n^5+5$ は素数ではない。
$n\equiv -1\mod 3$ のとき
$3<n^7+7\equiv 0\mod 3$ より、$n^7+7$ は素数ではない。
よって、すべての正の整数 $n$ において、$ n+1,n^3+3,n^5+5,n^7+7$ がすべて素数とはならないことが示された。
ワンポイント
ポイントは $3$ の剰余類に注目することです。
注意点として、$x\equiv 0\mod 3$ が示せたとしても、$x=3$ だった場合には $x$ が素数となってしまうことがあるので、必ず $x>3$ を示しましょう。
