2014年の愛媛大学の第3問の整数問題です。
誘導付きで、基本的な絞り込みの方法で十分解くことができます。
問題
$A$ は $3$ 桁の自然数で, その百の位の数 $x$, 十の位の数 $y$, 一の位の数 $z$ は,
$$100x+10y+z=x!+y!+z!$$
を満たしている.
(1) $6!$ の値を求め, $x,y,z$ はすべて $5$ 以下であることを示せ.
(2) $x$ は $3$ 以下であることを示せ.
(3) $y,z$ のうち少なくとも $1$ つは $5$ であることを示せ.
(4) $A$ を求めよ.
2014年愛媛大学農学部・工学部など第3問より
解答
(1) $6!=720$ である。
また、
$$A=100x+10y+z=x!+y!+z!$$
が成り立つ。
$x,y,z$ のうち、少なくとも $1$ つが $5$ より大きいとき、
$$ x!+y!+z!\geq 6!=720$$
である。また、左辺について、$y,z\leq 9$ であることから、
$$100x+10y+z \leq 100x+99$$
である。よって、
$$100x+99\geq 720$$
$$x\geq 7$$
が成り立つ。このとき、
$$x!+y!+z!\geq x!\geq 7!=5040$$
しかしこれは $A$ が $3$ 桁であることに矛盾するので、$x,y,z$ はすべて $5$ 以下である。
(2)
(1)の結果から、
$$x!+y!+z!\leq 3\times 5!=360$$
である。また、
$$100x+10y+z\geq 100x$$
である。よって、
$$100x\leq 360$$
であるから、$x\leq 3$ が得られる。
(3)
$y,z\leq 4$ であると仮定する。すると、
$$x!+y!+z!\leq 3!+4!+4!=54$$
となることから、$A$ が $3$ 桁であることに矛盾する。
したがって、$y,z$ の一方は $5$ 以上であるが、(1) の結果からその数字は $5$ となる。
(4)
$$(x,y)=(1,5),(2,5),(3,5)$$
$$(x,z)=(1,5),(2,5),(3,5)$$
のすべてを、それぞれ $100x+10y+z=x!+y!+z!$ に代入すると、解を持つのは $x=1, z=5$ の場合のみで、このとき $y=4$ であることがわかる。
よって、$A=145$ である。
ワンポイント
とにかく両辺の大小関係を調べることが大切です。
各位の数にも、0から9の制限があることも忘れないようにしましょう。
