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n(n+1)+14が平方数となるような自然数n(誘導付き)(北海道大・理系)

2017年の北海道大学理系の整数問題です。同年の文系にもほとんど同じ内容の問題が出ています。

誘導付きなので、比較的易しい問題となっています。

 

問題

自然数の $2$ 乗となる数を平方数という。

(1) 自然数 $a,n,k$ に対して, $n(n+1)+a=(n+k)^2$ が成り立つとき, $a\geq k^2+2k-1$ が成り立つことを示せ。

(2) $n(n+1)+14$ が平方数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

2017年北海道大学理系より

 

解答

(1)

等式を変形すると、

$$a\geq (2k-1)n+k^2$$

となる。

ここで、$n\geq 1,2k-1>0$ より、

$$ a\geq (2k-1)+k^2=k^2+2k-1$$

となる。よって、題意は示された。

 

(2)

$$ n(n+1)+14>n^2$$

であるから、$n(n+1)+14$ が平方数となるとき、ある自然数 $k$ を用いて、

$$ n(n+1)+14=(n+k)^2$$

と表すことができる。

(1)より、$k^2+2k-1\leq 14$ である。

これを満たす自然数は、$k=1,2,3$ である。

これを先ほどの等式に代入し、$n$ を求める。

$k=1$ のとき、$n=13$。

$k=2$ のとき、$3n=10$ となり不適。

$k=3$ のとき、$n=1$。

 

よって、求める自然数は、$n=1,13$。

 

ワンポイント

(1)の大小関係を示すとき、$2k-1$ が負でないことを述べ忘れないように気をつけましょう。

でないと、この変形は間違いになってしまいます。