2014年の島根大学医学部（理系）の第4問の整数問題です。
大小関係を使って絞り込みをすることで、簡単な整数問題となります。
問題
$n,a,b,c$ を自然数とし, $a\leq b\leq c$ かつ $n(a+b+c)=abc$ をみたすとする.
（２）$n=3$ のとき, 自然数の組 $(a,b,c)$ をすべて求めよ.
2014年島根大学医学部第4問(2)より
解答
$a\leq b\leq c$ から、
$$9a\leq 3(a+b+c)\leq 9c$$
であるから、
$$ abc\leq 9c$$
$$ab\leq 9$$
$$a^2\leq ab\leq 9$$
となる。よって、$a\leq 3$。
(i) $a=1$ のとき
$$3(1+b+c)=bc$$
となり、これを因数分解すると、
$$12=(b-3)(c-3)$$
となる。
また、$-2\leq b-3\leq c-3$ であるから、
$$(b-3,c-3)=(1,12),(2,6),(3,4)$$
$$(b,c)=(4,15),(5,9),(6,7)$$
が得られる。
(ii) $a=2$ のとき
$$3(2+b+c)=2bc$$
となり、これを因数分解すると、
$$21=(2b-3)(2c-3)$$
となる。
また、$1\leq 2b-3\leq 2c-3$ であるから、
$$(2b-3,2c-3)=(1,21),(3,7)$$
$$(b,c)=(2,12),(3,5)$$
が得られる。
(iii) $a=3$ のとき
$$3(3+b+c)=3bc$$
$$3+b+c=bc$$
となり、これを因数分解すると、
$$4=(b-1)(c-1)$$
となる。
また、$2\leq b-3\leq c-3$ であるから、
$$(b-3,c-3)=(2,2)$$
$$(b,c)=(3,3)$$
が得られる。
よって、求める自然数の組は、
$$(a,b,c)=(1,4,15),(1,5,9),(1,6,7),(2,3,5),(3,3,3)$$
である。
ワンポイント
整数問題の基本的な絞り込みの方法で、簡単に解くことができます。
（１）は、誘導ではなく、素因数の性質に関する簡単な整数問題でした。
