2012年の長岡技術科学大学工学部第4問の整数問題です。
数列の和、整数の性質に関する基礎的な内容となっています。
問題
$88$ を連続する $2$ つ以上の自然数の和として表しなさい.
2012年長岡技術科学大学工学部第4問より
解答
$m,n$ が自然数であるとき、$m$ 以上 $m+n$ 以下の自然数の和は、
$$\frac{1}{2}(m+m+n)(n+1)=\frac{1}{2}(2m+n)(n+1)$$
である。（$\frac{1}{2}(\text{初項}+\text{末項})(\text{項数})$ より）
ここで、この和を $88$ とすると、
$$(2m+n)(n+1) =2^4\times 11$$
となる。
$2m+n>n+1>1$ であること、$2m+n$ と $n+1$ の偶奇が異なることから、$(2m+n,n+1)=(2^4,11)$ である。
このとき、$(m,n)=(3,10)$ となる。
よって、
$$88=1+2+\dots +12+13$$
と表せる。
ワンポイント
実際の出題時には、$m$ 以上 $m+n$ 以下の自然数の和を求めるという誘導部分がありました。
数列の和の公式さえ覚えていれば、難しい問題ではありません。
