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88を連続する2つ以上の自然数の和として表せ(長岡技術科学大学・理系)

2012年の長岡技術科学大学工学部第4問の整数問題です。

数列の和、整数の性質に関する基礎的な内容となっています。

 

問題

$88$ を連続する $2$ つ以上の自然数の和として表しなさい.

2012年長岡技術科学大学工学部第4問より

 

解答

$m,n$ が自然数であるとき、$m$ 以上 $m+n$ 以下の自然数の和は、

$$\frac{1}{2}(m+m+n)(n+1)=\frac{1}{2}(2m+n)(n+1)$$

である。($\frac{1}{2}(\text{初項}+\text{末項})(\text{項数})$ より)

 

ここで、この和を $88$ とすると、

$$(2m+n)(n+1) =2^4\times 11$$

となる。

$2m+n>n+1>1$ であること、$2m+n$ と $n+1$ の偶奇が異なることから、$(2m+n,n+1)=(2^4,11)$ である。

このとき、$(m,n)=(3,10)$ となる。

よって、

$$88=1+2+\dots +12+13$$

と表せる。

 

ワンポイント

実際の出題時には、$m$ 以上 $m+n$ 以下の自然数の和を求めるという誘導部分がありました。

数列の和の公式さえ覚えていれば、難しい問題ではありません。