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a-b-8とb-c-8が素数となるような素数の組(a,b,c)(一橋大)

2014年の一橋大学(文系)の素数が絡んだ整数問題です。

場合分けがカギを握ります。

 

問題

$a-b-8$ と $b-c-8$ が素数となるような素数の組 $(a,b,c)$ をすべて求めよ.

2014年一橋大学より

 

解答

$b-c-8$ が素数であることから、

$$b-c-8\geq 2$$

$$b\geq 10+c\geq 12$$

である。よって、$b\geq 13$。

同様に、

$$a\geq 10+b\geq 23$$

が得られる。

よって、$a,b$ は奇素数である。

このとき、$a-b-8$ は偶数であるため、

$$a-b-8=2$$

$$a=b+10$$

となる。

(i) $b-c-8=2$ のとき

$b$ は奇数なので、$c$ も奇数となる。

ここで、$c=3$ とすると、$b=13,a=23$ は両方素数なので、$(23,13,3)$ は題意をみたす。

ここで、$c\neq 3$ のとき、自然数 $k$ を用いて、$c=6k\pm 1$ と表すことができる。

このとき、$b=c+10=6k+9,6k+11$ である。

$6k+9$ は合成数なので不適解。

よって、$b=6k+11$ である。

このとき、$a=6k+21$ となるが、これは合成数なので不適解。

(ii) $b-c-8$ が奇数のとき

このとき、$c$ は偶数となるので、$c=2$。

よって $b-c-8=b-10$ となる。

$b-10=3$ のとき、$b=13,a=23$ となり、$(23,13,2)$ は題意をみたす。

$b-10\neq 3$ のとき、自然数 $k$ を用いて、$b-10=6k\pm 1$ と表すことができる。

この場合も、(i) の場合と同様に、解はない。

よって、求める素数の組み合わせは、$(a,b,c)=(23,13,3),(23,13,2)$ である。

 

ワンポイント

$a,b$ が奇数であること、奇素数が $3$ かそうでないかで場合分けをすることを押さえておけば、スムーズに解くことができます。