2016年の一橋大学（文系）の整数問題です。
とてもシンプルな整数問題です。
問題
$6\cdot 3^{3x}+1=7\cdot 5^{2x}$ を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ.
2016年一橋大学より
解答
$x=0$ のとき、$6\cdot 1+1=7\cdot 1$ より等式が成り立つ。
$x=1$ のとき、$6\cdot 3^3+1\neq 7\cdot 5^2$ より不適。
$x=2$ のとき、$6\cdot 3^6+1=7\cdot 5^4$ より等式が成り立つ。
ここで、$x=3$ のとき、
$$118098=6\cdot 3^9>7\cdot 5^6=109375$$
である。
また、$x\geq 3$ で、$6\cdot 3^{3x}>7\cdot 5^{2x}$ であると仮定すると、$y=x+1$ のとき、
$$6\cdot 3^{3y}=6\cdot 3^{3x}\cdot 27>7\cdot 5^{2x}\cdot 25=7\cdot 5^{2y}$$
が成り立つ。
よって、数学的帰納法より、$x\geq 3$ において、
$$6\cdot 3^{3x}>7\cdot 5^{2x}$$
が成り立つ。
このとき、
$$6\cdot 3^{3x}\geq 6\cdot 3^{3x}>7\cdot 5^{2x}$$
であるので、与えられた等式は成立しない。
よって、求める整数は $x=0,2$ である。
ワンポイント
指数関数の増加するスピードの違いに注目した解法です。
等式を変形し、二項展開を利用したスマートな解法もありますが、こちらの方が直線的で簡単な解法ではないでしょうか。
$x=3$ の場合の計算が一見辛そうですが、$x=2$ までの計算を既にしているので、そこまで煩雑ではありません。
