2018年の京都大学文系数学の整数論の問題です。
指針をうまく立てられるかがポイントとなります。
問題
$n^3-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求めよ.
2018年京都大学前期文系数学大問3より
解答
まず、指針を立てるために $n^3-7n+9$ の $n$ に整数を代入していきます。
$$0^3-7\times 0+9=9$$
$$1^3-7\times 1+9=3$$
$$2^3-7\times 2+9=3$$
$$3^3-7\times 3+9=15$$
$$4^3-7\times 4+9=45$$
ここから、$n^3-7n+9$ は常に3の倍数であるという予想が立つので、実際にそれを証明することから始めます。
$n\equiv 0\mod 3$ のとき、$n^3-7n+9\equiv 0-0+9\equiv 0\mod 3$。
$n\equiv 1\mod 3$ のとき、$n^3-7n+9\equiv 1-7+9\equiv 0\mod 3$。
$n\equiv 2\mod 3$ のとき、$n^3-7n+9\equiv 8-14+9\equiv 0\mod 3$。
よって、$n^3-7n+9$ はすべての整数 $n$ において 3の倍数である。
つまり、$n^3-7n+9$ が素数となるのは、$n^3-7n+9=3$ のときのみである。
ここから、
$$0=n^3-7n+6=(n+3)(n-1)(n-2)$$
と変形できるので、$n=-3,1,2$ が求める整数である。
ワンポイント
最初の指針がうまく立てられないと、問題に手がつけられないかもしれません。
指針がわからないときは、とにかく $n$ に数字を代入してみることです。わからなければ代入する数をどんどん増やしましょう。何か法則が見えるはずです。