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n^3-7n+9が素数となる整数nを求める(京大文系)

2018年の京都大学文系数学の整数論の問題です。

指針をうまく立てられるかがポイントとなります。

 

問題

$n^3-7n+9$ が素数となるような整数 $n$ をすべて求めよ.

2018年京都大学前期文系数学大問3より

 

解答

まず、指針を立てるために $n^3-7n+9$ の $n$ に整数を代入していきます。

$$0^3-7\times 0+9=9$$

$$1^3-7\times 1+9=3$$

$$2^3-7\times 2+9=3$$

$$3^3-7\times 3+9=15$$

$$4^3-7\times 4+9=45$$

ここから、$n^3-7n+9$ は常に3の倍数であるという予想が立つので、実際にそれを証明することから始めます。

 

$n\equiv 0\mod 3$ のとき、$n^3-7n+9\equiv 0-0+9\equiv 0\mod 3$。

$n\equiv 1\mod 3$ のとき、$n^3-7n+9\equiv 1-7+9\equiv 0\mod 3$。

$n\equiv 2\mod 3$ のとき、$n^3-7n+9\equiv 8-14+9\equiv 0\mod 3$。

よって、$n^3-7n+9$ はすべての整数 $n$ において 3の倍数である。

つまり、$n^3-7n+9$ が素数となるのは、$n^3-7n+9=3$ のときのみである。

ここから、

$$0=n^3-7n+6=(n+3)(n-1)(n-2)$$

と変形できるので、$n=-3,1,2$ が求める整数である。

 

ワンポイント

最初の指針がうまく立てられないと、問題に手がつけられないかもしれません。

指針がわからないときは、とにかく $n$ に数字を代入してみることです。わからなければ代入する数をどんどん増やしましょう。何か法則が見えるはずです。